行列の積の種類（行列の積・アダマール積・フロベニウス積）とnumpyでの書き方

単なる行列の積のことを「内積」とか書いてる記事をみつけて混乱したので、まとめてみた。

行列の積

単に、行列の「積」というと、下記のこと。

$\boldsymbol{A} : n * m 行列$ , $\boldsymbol{B} : m * p 行列$
$\boldsymbol{(AB)_{ij}} = \sum_{k=1}^{m} {a}_{ik}{b}_{kj}$

これが、一般的に思いつく「積」のはずで、間違っても内積だの外積だのとは言わないはず。左行列の行ベクトルと、右行列の列ベクトルの「内積」を並べた行列とは言える。

numpyだとこう書く。

import numpy as np
A = np.array([[1,2,3],[4,5,6]])
B = np.array([[7,8],[9,10],[11,12]])

AB = np.dot(A, B)
print(AB)
>>
[[ 58  64]
 [139 154]]

AB = A @ B
print(AB)
>>
[[ 58  64]
 [139 154]]

アダマール積は、下記で表される。

$\boldsymbol{A} : n * m 行列$ , $\boldsymbol{B} : n * m 行列$
$\boldsymbol{(A∘B)_{ij}} = {a}_{ij}{b}_{ij}$

要するに、「同じ位置の要素同士の積」をとっただけ。当然、同じサイズの行列同士でないと計算できない。

numpyだとこう書く。

A = np.array([[1,2,3],[4,5,6]])
B = np.array([[7,8,9],[10,11,12]])

AB_hadamard = A * B # numpy.matrixでは通常の積になるので注意。
print(AB_hadamard)
>>
[[ 7 16 27]
 [40 55 72]]

AB_hadamard = np.multiply(A, B)
print(AB_hadamard)
>>
[[ 7 16 27]
 [40 55 72]]

フロベニウス内積は、下記で表される。

$\boldsymbol{A} : n * m 行列$ , $\boldsymbol{B} : n * m 行列$
$\boldsymbol{A:B} = \sum_{i,j} {a}_{ij}{b}_{ij}$

総和をとっているので、計算結果は「スカラー」になることに注意。「同じ位置の要素同士の積の合計」と覚える。フロベニウス内積はベクトルの「内積」と計算の見た目が同じ。

numpyだとこう書く。

A = np.array([[1,2,3],[4,5,6]])
B = np.array([[7,8,9],[10,11,12]])

AB_frobenius = np.sum(A*B) # アダマール積を計算してからsumをとる
print(AB_frobenius)
>>
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以上。積ひとつとっても色々概念があって難しい…